Nombres de Fermat

Soit k un entier strictement positif. Si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2.

Il existe deux entiers a impair et b tels que k = a2b.

En posant c=2(2b), on dispose alors des égalités suivantes :

$$2^{k}+1=c^{a}+1=(c+1)\sum_{i=0}^{a-1}(-1)^{i}c^{i}$$

qui montrent que c+1 est un diviseur du nombre premier 2k+1, donc qui lui est égal .

Si bien que k=2b.
On définit les 'nombres premiers de Fermat' comme les nombres premiers de la forme 2n+1, soit encore les nombres premiers de la forme 22k, ce qui revient au même d'après le théorème précédent.

Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Ainsi, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont au nombre de cinq, à savoir les cinq premiers F0, F1, F2, F3 et F4, qui valent respectivement 3, 5, 17, 257 et 65 537.

Polynômes cyclotomiques

Soit n un entier strictement positif.

Le groupe cyclique $\mathbb{Z}$/n$\mathbb{Z}$ s'identifie avec le groupe Un des racines n-ièmes de l'unité dans $\mathbb{C}$.

On désigne par Gn le groupe des éléments inversibles de $\mathbb{Z}$/n$\mathbb{Z}$.

Gn est donc un sous-groupe de Un.

Une racine n-ième de l'unité est dite 'primitive' si elle engendre Un.
En particulier $\omega =e^{\frac{2\pi i}{n}}$ est toujours une racine primitive de l'unité, et les autres sont les ωk où k est premier avec n.

C'est une conséquence immédiate du théorème de Bezout.

On désigne par Πn, l'ensemble des racines n-ièmes primitives de l'unité.

On appelle "indicateur d'Euler" de n et on note φ(n) l'ordre du groupe Gn.
Il résulte de la définition que :
$$\sum_{d| n}^{}\varphi (d)=n$$

Si les éléments de ℤ/nℤ sont partitionnés selon leurs ordres, on obtient la formule ci-dessus.

Si p est premier φ(p)=p-1 et φ(pα)=pα-1(p-1).

La première partie résulte du fait que dans le groupe $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}$ toutes les racines sont primitives sauf l'unité.

Pour la seonde partie, il suffit de se demander quels nombres entre 1 et pα ne sont pas premiers avec pα. Il s'agit des nombres ayant un facteur p, c'est-à-dire ceux qui sont divisibles par p. Ce sont donc simplement les entiers p,2p,3p,…,pα, qui sont au nombre de pα−1. Le nombre d'entiers entre 1 et pα qui sont premiers avec pα est dès lors égal à pα−pα-1=pα-1(p−1).

Le n-ième polynôme cyclotomique usuel, Φn, est défini par

$$\Phi _{n}(X)=\prod_{0\leqslant k< n}^{k\wedge n=1}\left ( X-e^{\frac{2\pi ik}{n}} \right )$$

Le produit étant pris sur tous les entiers k strictement inférieurs à n et premiers avec n (la notation n∧k désigne ici le pgcd de n et k.)

Il résulte de ce qui précède que :

$$\Phi _{n}(X)=\prod_{\xi \in \prod _{n}}^{}\left ( X- \xi\right )=\prod_{k\wedge n=1}^{}\left ( X- \omega ^{k}\right )$$

En outre le degré de Φn est φ(n).

Il résulte de la définition que :

Quand p est premier Φp(X)= 1+X+X2+ ...+Xp-1.
Il résulte également de la définition que Φn(X) est un diviseur de Xn-1.

Calculons maintenant, à titre d'exemples, quelques polynômes cyclotomiques d'ordre non premier :

Nous observons sur les 7 premiers exemples que Φn(X) est un polynôme à coefficients entiers. Nous allons établir ce fait parmi d'autres propriétés.

Pour tout n∈$\mathbb{N}$*, on a : $$X^{n}-1=\prod_{d|n}^{}\Phi _{d}(X)$$ En particulier Φn(X) ∈ $\mathbb{Z}$[X].

Nous utilisons les notations introduites ici pour les sous-groupes engendrés.

Nous utilisons également les notations introduites ici pour les ordres des groupes.

Soit k ∈ [0,n-1] et soit d l’ordre de ωk dans Un.

On a nécessairement d|n.

Par ailleurs (ωk)d=1, on a donc ωk∈Ud.

ωk étant d'ordre d, on a :

$$\left | \left \langle \omega ^{k} \right \rangle \right |=d=\left | U_{d} \right |$$

On a donc ωk ∈ Πd.

Ainsi (X-ωk) divise Φd, et par conséquent divise $\prod_{d-n}^{}\Phi _{d}$.

Les valeurs ωk pour 0≤k≤n-1 sont toutes distinctes. Les polynômes (X-ωk) sont donc premiers entre eux. On en déduit que :

$$X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\left ( X - \omega ^{k}\right ) \text{ divise }\prod_{d|n}^{}\Phi _{d}$$

Ces polynômes étant de plus unitaires et de même degré compte tenu de la propriété de l'indicateur d'Euler ci-dessus, ils sont égaux.

Montrons maintenant, par récurrence sur n ∈ $\mathbb{N}$ que Φn ∈ $\mathbb{Z}$[X].

C'est vrai pour n=1 car Φ1(X)=X-1.

Supposons le résultat vrai jusqu'au rang n-1.

D'après l'hypothèse de récurrence :

$$P=\coprod_{d|n}^{d\neq n}\Phi _{d}\in \mathbb{Z}[X]$$

Par ailleurs Xn-1=ΦnP.

Comme P est unitaire on peut effectuer la division euclidienne de Xn-1 par P dans $\mathbb{Z}$[X]. Donc ,

$$\exists P,Q\in \mathbb{Z}[X] \text{ tels que } X^{n}-1=PQ+R \text{ avec } d°(R)< d°P$$ Comme Xn-1=ΦnP on en déduit que R=0, donc que Φn=Q, donc Φn ∈ $\mathbb{Z}$[X]

Soit p un nombre premier ne divisant pas n (notation p $\nmid$ n). Pour tout polynôme P(X) ∈ $\mathbb{Z}$[X] $P(X)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i} \text{ où les coefficients sont entiers}$, nous posons :

$$\overline{P}(X)=\sum_{i=0}^{n}\overline{a_{i}}X^{i}$$ où pour chaque i $\overline{a_{i}}$ est la classe de l'entier $a_{i}$ dans $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}$ de sorte que $\overline{P}$ est un polynôme de $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}[X]$

Avec ces notations, nous énonçons un lemme:

Dans $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}[X]$ $\overline{\Phi _{n}}$ n'est divisible par aucun carré d'un polynôme non constant.

Supposons :

$$\overline{\Phi_{n}}=\overline{Q}^{2}\overline{P} \text{ dans }\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$$

Si nous posons :

$$R=\coprod_{d\mid n}^{d\neq n}\Phi _{d}$$

Nous avons :

$$X^{n}-1=\Phi _{n}R$$

Et donc :

$$X^{n}-\overline{1}=\overline{\Phi _{n}}\overline{R}= \overline{Q}^{2}\overline{S} \text{ avec }S=PR$$

D'où par dérivation algébrique :

$$\overline{n}X^{n-1}= 2 \overline{Q}\overline{Q'}\overline{S}+\overline{Q}^{2}\overline{S}$$

Donc $\overline{Q}$ divise $\overline{n}X^{n-1}$ et par suite $\overline{Q}$ divise $\overline{n}X^{n}$

De plus $\overline{Q}$ divise $X^n-1$ donc $\overline{n}X^{n}-\overline{n}$

$\overline{Q}$ divise donc la différence $\overline{n}$ qui est non nulle puisque on suppose p $\nmid$ n.

$\overline{Q}$ est donc constant.

Les polynômes cyclotomiques sont irréductibles sur $\mathbb{Q}$.

  • Montrons tout d’abord que Φn = F1...Fr avec Fi ∈ $\mathbb{Z}$[X] unitaires et irréductibles dans $\mathbb{Q}$[X].

    L'anneau $\mathbb{Q}$[X] est factoriel. Il suffit donc de partir d'une décomposition de Φn en produits de facteurs irréductibles dans $\mathbb{Q}$[X], puis de constater que les facteurs sont irréductibles sur $\mathbb{Z}$[X] par ce résultat. Comme Φn est unitaire, les facteurs sont unitaires.

  • Soit maintenant ξ une racine de F1 dans $\mathbb{C}$ et p un nombre premier tel que p $\nmid$ n. Montrons qu’il existe i ∈ [1,r] tel que Fi(ξp) = 0.

    L’élément ξ est racine de F1 donc de Φn. On a donc ξ ∈ Πn. Or p est premier et p $\nmid$ n donc p ∧ n = 1 et donc ξp ∈ Πn, d’où ξp est racine de Φn. Il existe donc i ∈ [1,r] tel que Fi(ξp) = 0 (car $\mathbb{C}$ étant un corps est en particulier un anneau intègre).

  • Nous montrons maintenant que i=1 c'est à dire que F1(ξp) = 0.

    Comme Fi(ξp) = 0 F1(X) et Fi(Xp) ne sont pas premiers entre eux dans $\mathbb{C}$[X]. Donc, en vertu du Théorème de Bezout ils ne sont pas premiers entre eux dans $\mathbb{Q}$[X].

    Ces deux polynômes possèdent donc un facteur commun irréductible et unitaire que l'on peut choisir dans la décomposition de leur PGCD.

    De plus F1(X) est irréductible dans $\mathbb{Q}$[X], donc F1(X) divise Fi(Xp) dans $\mathbb{Q}$[X]. Comme F1 est unitaire on peut faire la division euclidienne de Fi(Xp) par F1 dans $\mathbb{z}$[X]. Compte tenu de ce qui précède et de l'unicité des quotient et reste on voit que F1(X) divise Fi(Xp) dans $\mathbb{Z}$[X].

    p étant premier l'application x → xp est un homomorphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}$. Il en résulte que $\overline{F_{i}}\left ( X^{p} \right )=\overline{F_{i}}(X)^{p}$.

    Donc $\overline{F_{1}}(X) \text{ divise }\overline{F_{i}}(X)^{p}$.

    Soit maintenant $\overline{P}$ ∈ $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}$[X] un facteur irréductible de $\overline{F_{1}}$ dans $\mathbb{Z}$/p$\mathbb{Z}$[X].

    $\overline{P}$ divise $\overline{F_{i}}(X)^{p}$, donc $\overline{P}$ divise $\overline{F_{i}}(X)$ puisque les Fi sont irréductibles par construction.

    Par conséquent si i≠1 , $\overline{P}^{2}$ divise $\overline{\Phi_{n} }=\overline{F_{1}}...\overline{F_{r}}$, ce qui est impossible d'après le lemme précédent.

    Donc i=1.

  • Montrons que pour tout entier k premier avec n, F1(ξk) = 0.

    Écrivons k = p1...ps, les pi étant des nombres premiers.

    Nous allons prouver par récurrence sur s que F1(ξk) = 0.

    Pour s = 1, c’est ce qu’on a fait précédemment.

    Supposons le résultat vrai au rang s−1 et montrons le au rang s.

    Comme k ∧ n = 1, on a p1...ps−1 ∧ n = 1, donc d’après l’hypothèse de récurrence F1(ξp1...ps−1) = 0.

    Or ps ∧ n = 1 donc F1((ξp1...ps−1)ps) = F1(ξk) = 0 .

    Or ξ ∈ Πn donc Πn = {ξk, k ∧ n = 1}.

    Tous les éléments de Πn sont donc des racines de F1 ce qui prouve que Φn = F1 donc Φn est irréductible dans $\mathbb{Q}$[X].

Théorème de Wantzel-Gauss

Voici l'énoncé de ce théorème :

Soit p un nombre premier impair. et α ∈ $\mathbb{N}$*.

  • L'angle $\widehat{\frac{2\pi }{p^{\alpha }}}$ est constructible.
  • α=1 et p est un nombre premier de Fermat au sens ci-dessus.

  • Théorème direct

    On pose q=pα et $\omega =e^{\frac{2\pi i}{q}}$.

    On suppose $\widehat{\frac{2\pi }{p^{\alpha }}}$ constructible donc $cos\left ( \frac{2\pi }{q} \right )$ constructible.

    En utilisant le théorème de Wantzel, on obtient :

    $$\left [ \mathbb{Q}\left ( cos\frac{2\pi }{q} \right ):\mathbb{Q} \right ]=2^{m} \text{ avec }m\in \mathbb{N}$$

    Le polynôme Φq étant le polynôme minimal de ω sur $\mathbb{Q}$, car unitaire et irréductible en vertu du paragraphe précédent et du calcul de l'indicatrice d'Euler on a :

    $$\left [ \mathbb{Q}(\omega ):\mathbb{Q} \right ]=deg\Phi _{q}=\varphi (q)=p^{\alpha -1}(p-1)$$

    Sachant que ω est racine de $\left ( X-\omega \right )\left ( X-\overline{\omega } \right )=0$, il vient :

    $$\omega ^{2}-2\omega cos\frac{2\pi }{q}+1=0$$

    Ceci entraîne que $cos\frac{2\pi }{q}\in \mathbb{Q}[\omega ]$ et même $\left [ \mathbb{Q}(\omega ):\mathbb{Q}\left ( cos\frac{2\pi }{q} \right ) \right ]=2 $.

    Par multiplicativité des degrés on obtient 2m+1=pα-1(p-1).

    Comme p est supposé impair il vient α=1.

    Donc p=2m+1 +1.

    Il suffit alors d'appliquer ce résultat ci-dessus sur les nombres de Fermat.

  • Réciproque

    On suppose que p est un nombre premier de Fermat $p=1+2^{2^{\beta }}$.

    On pose $\xi =e^{\frac{2\pi i}{p}}$.

    Alors :

    $$\left [ \mathbb{Q}(\xi ):\mathbb{Q} \right ]=deg\Phi _{p}=\varphi (p)=p-1=2^{2^{\beta }}$$

    De sorte qu'il suffit à nouveau d'invoquer le théorème de Wantzel.

Caractérisation des polygones constructibles

Nous avons besoin de deux lemmes.

Les angles de la forme $\widehat{\frac{2\pi }{2^{\alpha }}}$ sont constructibles, où α ∈ N∗.

C’est immédiat, puisque par récurrence, il suffit de savoir tracer des bissectrices à la règle et au compas.

Soient m et n deux entiers non nuls avec m∧n=1 (m∧n désigne ici le pgcd des deux nombres). Alors $\widehat{\frac{2\pi }{mn}}$ constructible ⇔ $\widehat{\frac{2\pi }{m}}$ constructible et $\widehat{\frac{2\pi }{n}}$ constructible.

Le théorème direct est à peu près évident. Si l'on sait construire un polygone à mn côtés, pour obtenir un polygone à m côté il suffit de sélectionner les sommets qui sont des multiples de n.

La réciproque se démontre facilement en utilisant l'identité de Bézout.

Supposons qu'on sache construire les polygones à m et n côtés, si m et n sont premiers entre eux alors par l'identité de Bézout il existe deux entiers u et v tels que :

$$1=um+vn$$

D'où nous tirons :

$$\frac{1}{mn}=\frac{u}{n}+\frac{v}{m}$$

Et finalement :

$$\widehat{\frac{2\pi }{mn}}=u\widehat{\frac{2\pi }{n}}+v\widehat{\frac{2\pi }{m}}$$

Or il est facile de construire le multiple d’un nombre constructible (en reportant avec le compas le bon nombre de fois la corde formée par l’angle sur le cercle unité).

Par ailleurs il est facile de construire la somme où la différence d'angles constructibles par report d'angles égaux adjacents.

Finalement, en combinant les deux lemmes précédents avec le théorème de Wantzel-Gauss ci-dessus on obtient :

Un n-gone régulier à n côtés est constructible si et seulement si : $$n=2^{k}\prod_{p\in \mathfrak{F}}^{}p$$ où n est un entier positif et $\mathfrak{F}$ est un ensemble fini (éventuellement vide) de nombres premiers de Fermat.